La MAGIE avec 142 857

Nombre 142 857

  

Curiosités et magie avec ce nombre.  Avec en prime:

MAGIE avec 142 857
Inscrire un nombre de 5 chiffres sur un papier		45 617
Ajouter 142 857		+ 142 857 = 188 474
Multiplier par 7		x 7 = 1 319 318
Barrer le chiffre de gauche		319 318
Multiplier par 143		x 143 = 45 662 474
Annoncer le chiffre		45 662 474
J'ajoute 143		+ 143 = 45 662 617
On retrouve le nombre du départ avec les 2 premiers chiffres et les trois derniers		45 xxx 617

Explications

    Deux propriétés sont utilisées:

142 857 x 7 = 999 999

et    143 x 7 =      1 001.

    En gros, le nombre initial va être multiplié par 1 001.

Et, un nombre fantôme va être introduit puis retranché: 999 999.

Opérations	Nombre à deviner		+ Nombre fantôme		= Résultat
Le nombre ajouté	45 617		142 857		188 474
Multiplication par 7	x 7		x 7
est multiplié pour donner 100 000 – 1	319 319		999 999		1 319 318
et on soustrait 1 000 000			1 000 000
	319 319		–  1		319 318
Multiplication par 143, après celle par 7	x 143		x 143
Le nombre initial se retrouve multiplié par 7 x 143 = 1001	45 662 617		–  143		45 662 474
Il reste un résidu parasite de 143 qu'il faut ajouter					45 662 617

NOMBRE MAGIQUE:  M = 142 857

Multiplications 142857     x      2        =        285714                   x      3        =        428571                   x      4        =        571428                   x      5        =        714285                   x      6        =        857142                   x      7        =        999999                   x      8        =      1142856 et 142856 + 1 = 142 857                   x      9        =      1285713 et 285713 + 1 = 285714     Ce nombre est extraordinaire car, via la multiplication, il retrouve toujours ses propreschiffres. Sauf avec 7, cas qui rappelle que 1/7 = 0,142857142857 …       La somme des deux blocs de trois chiffres est égale à 999. Exemple: 142 + 857 = 999. Permutations circulaires 142 857 x 1 = 142857 x 5 = 714285 x 4 = 571428 x 6 = 857142 x 2 = 285714 x 3 = 428571     Les produits se déduisent les uns des autres par permutation circulaire: décalage vers la gauche et le chiffre sortant à droite est réintroduit à gauche.     Le produit de 142 857 par 7 donne 999 999 dont la somme des chiffres est 2 x 27.     La somme des chiffres sur les lignes comme sur les colonnes est égale à 27. Les chiffres forment un carré semi magique:     Hélas les diagonales ne somment pas en 27. Même si la moyenne est 27: 23 + 31 = 54 = 2 x 27 Produits avec des nombres plus élevés     Les multiples de 142857 présentent tous le même motif – chiffres de 142857 permutés – en ajoutant à droite les chiffres qui dépassent à gauche. Ex: 142 857 x 12 = 1 714 284 => 714 285        142 857 x 37 = 5 285 709 => 285 714       Sauf pour les multiples en 7k pour lesquels le motif en 9 ressort. Ex: 142 857 x 84 = 11 999 988 => 999 999 Fractions     Le nombre 7 semble jouer un rôle particulier. Calculons les fractions en n / 7: 1 /7 = 0, 142857 142857 142857 2 /7 = 0, 285714 285714 285714 3 /7 = 0, 428571 428571 428571 4 /7 = 0, 571428 571428 571429 5 /7 = 0, 714285 714285 714286 6 /7 = 0, 857142 857142 857143 7 /7 = 1, 000000 000000 000000 8 /7 = 1, 142857 142857 142857 9 /7 = 1, 285714 285714 285714     La période comprend six chiffres: 142 857 pour 1/7 et les mêmes chiffres permutés pour les autres fractions. C'est une propriété générale des nombres cycliques dont la période est juste égale au nombre (7) moins un (6). Curiosités : En séparant le nombre en deux 1 4 2 8 5 7 1 + 4 = 5 1 + 4 + 2 = 7 4 x 2 = 8 Harshad 142 857 = 5 291 x (1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7) Le nombre magique 142 857 est divisible par la somme de ses chiffres. Voir Nombre de Harshad Multiplications 142 857     =       11               x          12987                    =       111            x          1287                    =       1111          x          129                            =       999999      x          7                    =       9999          x          14                    =       999            x          143                    =       99               x          1443                    =       9                 x          15873 Progression arithmétique Soit les paires 18 45 et 27 tirées du nombre magique 142857. 1 x 8 = 8 2 x 7 = 17 4 x 5 = 20 Écart: + 6 + 6 4² + 5² = 41 2² + 7² = 53 8² + 1² = 65 Écart: + 12 + 12

Multiplication mentale (ou presque)
Propriété: en multipliant par 12, on multiplie par 1 x 7 + 5. La multiplication rapide se base sur cette propriété, prise à l'envers.	142 857 x 12 = 1 714 284                                714 284 + 1 = 714 285 714 285 =          5          x 142 857                =  (12 – 1 x 7) x 142 857
Soit à multiplier:	142 857 x 493 = ?
En divisant le multiplicateur par 7:	142 857 x (70 x 7 + 3)
Prendre le quotient comme premiers chiffres:	142 857 x 493 = 70 …
Prendre le produit par 3 pour la suite:	142 857 x 3 = 428 571
Résultat:	142 857 x 493 = 70 428 571 – 70                           = 70 428 501
Cas d'un multiplicateur divisible par 7:	142 857 x 378 = 142 857 x 54 x 7 = 142 857 x (53 x 7 + 7) =
On procède comme précédemment:	142 857 x 378 = 53 999 999 – 53                           = 53 999 946

142857 et ses diviseurs

Parmi toutes les permutations du nombre magique M = 142857, combien donnent un repdigit lorsqu'ils sont divisés par un diviseur de M?                                              N                    Diviseur          Quotient N/D                                              142857         47619              3                                              285714         47619              6                                              142857         15873              9                                              428571         47619              9                                              142857         12987              11                                              241758         10989              22                                              285714         12987              22                                              142857         4329                33                                              428571         12987              33                                              571428         12987              44                                              714285         12987              55                                              241758         3663                66                                              285714         4329                66                                              857142         12987              66                                              142857         1443                99                                              428571         4329                99                                              147852         1332                111                                              142857         1287                111                                              428571         3861                111                                              285714         1287                222                                              857142         3861                222                                              142857         429                   333                                              428571         1287                333                                              147852         333                   444                                              571428         1287                444                                              714285         1287                555                                              285714         429                   666                                              857142         1287                666                                              258741         333                   777                                              142857         143                   999                                              428571         429                   999 En majorité, on retrouve les permutations circulaires de 142857 (rouge); mais aussi, les permutations circulaires de ce nombre lues dans l'autre sens758241. On trouve également le nombre 147852, avec le 2 et le 7 qui sont permutés. Rappel: Ce nombre à six chiffres et chaque chiffre vaut l'une des six valeurs {1, 2, 4, 5, 7, 8}. Cinq chiffres étant fixés, le dernier peut prendre 6 valeurs. Quatre chiffres étant fixés, le cinquième peut prendre 6 valeurs; ce qui veut dire que les deux derniers peuvent prendre 6x6 valeurs Trois chiffres étant fixés, les trois derniers peuvent prendre 6x6x6  = 63 valeurs. Pour les chiffres, nous avons donc 66 = 46 656 valeurs dont 31 correspondent à nos conditions.

AUTRES MULTIPLICATIONS MAGIQUES

Le nombre magique 142 857, multiplié par un nombre quelconque, donne un produit dont la somme des chiffres par bloc de six est le nombre magique permuté. Exploration 142 857 et ses fractions 1 142 857 2 285 714 3 428 571 4 571 428 5 714 285 6 857 142 7 999 999 8 1 142 856 142 857 9 1 285 713 285 714 10 1 428 570 428 571 11 1 571 427 571 428 12 1 714 284 714 285 13 1 857 141 857 142 14 1 999 998 999 999 15 2 142 855 142 857    Observez     La colonne de droite (bleue) est la somme du nombre de millions avec le nombre formé des 6 derniers chiffres.     Elle donne les permutations circulaires du nombre magique     Est-ce toujours vrai ? Voyons cela. Avec n autour de 1 000  N n N . n A = millions B = 6 derniers chiffres A + B 142 857 1 000 142 857 000 142 857 000 857 142 1 001 142 999 857 142 999 857 999 999 1 002 143 142 714 143 142 714 142 857 1 003 143 285 571 143 285 571 285 714 1 004 143 428 428 143 428 428 428 571 1 005 143 571 285 143 571 285 571 428 1 006 143 714 142 143 714 142 714 285 1 007 143 856 999 143 856 999 857 142 1 008 143 999 856 143 999 856 999 999     Oui, c'est toujours vrai ! Même pour plusieurs paquets de millions Avec n autour de 1 000 000 000 Note : 08 signifie une succession de 8 zéros N n N . n 1012 106 U Somme Somme’ 142 857 1 08 0 142 857 000 000 000 142 857 000 0 857 142 857 142 1 08 1 142 857 000 142 857 142 857 000 142 857 999 999 999 999 1 08 2 142 857 000 285 714 142 857 000 285 714 1 142 856 142 857 1 08 3 142 857 000 428 571 142 857 000 428 571 1 285 713 285 714 1 08 4 142 857 000 571 428 142 857 000 571 428 1 428 570 428 571 1 08 5 142 857 000 714 285 142 857 000 714 285 1 571 427 571 428 1 08 6 142 857 000 857 142 142 857 000 857 142 1 714 284 714 285 1 08 7 142 857 000 999 999 142 857 000 999 999 1 857 141 857 142 1 08 8 142 857 001 142 856 142 857 001 142 856 999 999 999 999     La colonne la plus à droite est utile lorsque la somme dépasse le million. Alors, on recommence l’addition.